Problem der 15 Schulmädchen

Das Problem der 15 Schulmädchen wurde 1850 von Thomas Kirkman formuliert.

Es lautet:

Im allgemeinen Fall sollen ${\displaystyle n}$ Schulmädchen ${\displaystyle y}$ Tage hintereinander ausgehen, sodass ein Schulmädchen genau einmal mit irgendeinem anderen der Mädchen in einer Dreiergruppe ist. Dabei gilt

${\displaystyle y={\frac {n-1}{2}}}$

entsprechend der Zahl der verschiedenen Paarungen eines Schulmädchens mit den anderen. Das erfordert, dass ${\displaystyle n}$ ein ungerades Vielfaches von drei ist, also

${\displaystyle y={\frac {6k 2}{2}}}$ mit ${\displaystyle 6k 3=n}$ und ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$

gültig ist. Gültige Werte für k, n und y sind:

Das Problem wurde 1850 von Kirkman in der Zeitschrift für Unterhaltungsmathematik The Lady’s and Gentleman’s Diary gestellt und Lösungen wurden von Arthur Cayley und Kirkman selbst gegeben. Später gab es einen Streit zwischen Kirkman und dem berühmten Mathematiker James Joseph Sylvester, der ebenfalls die Einführung des Problems für sich in Anspruch nahm. Auch als Jakob Steiner 1853 Probleme über Steiner-Systeme stellte (mit einer Lösung von Reiss 1859), sechs Jahre nach der Veröffentlichung von Kirkman von 1847 über von ihm so genannte Triaden-Systeme, war Kirkman indigniert. Kirkmans Beitrag fiel zeitweise fast in Vergessenheit, trotz einer Würdigung durch L. D. Cummings 1918. Das Schulmädchenproblem findet sich Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts in verschiedenen klassischen Büchern über Unterhaltungsmathematik wie dem von Wilhelm Ahrens, Édouard Lucas, W. W. Rouse Ball und Henry Dudeney

Das Schulmädchen-Problem ist ein Spezialfall des Oberwolfach-Problems und der Steiner-Systeme ${\displaystyle S(t,k,n)}$, einem System von ${\displaystyle n}$ Elementen mit einer Einteilung in ${\displaystyle k}$-elementige Blöcke als Untermengen, so dass jede Untermenge von ${\displaystyle t}$ Elementen in genau einem Block ist (auch ${\displaystyle t}$-${\displaystyle (n,k,1)}$-Blockplan genannt). Im Schulmädchenproblem für ${\displaystyle n}$ Schulmädchen hat man es mit Steiner-Tripel-Systemen ${\displaystyle S(2,3,n)}$ zu tun, genauer einem solchen mit Parallelismus (Kirkman-Tripel-System) und von der Ordnung 2. Kirkman-Tripel-Systeme sind Steiner-Tripel-Systeme, bei denen die Tripel so in disjunkte Klassen eingeteilt werden können, dass jede Klasse eine Zerlegung der Gesamtmenge ergibt. Das Problem der 15 Schulmädchen fragt nach der Existenz eines Kirkman-Tripel-Systems für 15 Elemente. Kirkman war der erste, der bewies, dass es Steiner-Tripel-Systeme mit ${\displaystyle n}$ Elementen genau dann gibt, wenn ${\displaystyle n\equiv 1{\pmod {6}}}$ oder ${\displaystyle n\equiv 3{\pmod {6}}}$. Es gibt im Fall ${\displaystyle n=15}$ insgesamt sieben Möglichkeiten, die Schulmädchengruppen so wie gefordert einzuteilen. Diese wurden 1862/1863 von Wesley Woolhouse in derselben Zeitschrift veröffentlicht, in der Kirkman das Problem stellte. Die Frage, ob eine Lösung isomorph zu einer anderen ist, ist nicht einfach: bis 1881 wurden 11 Lösungen veröffentlicht, aber erst 1917 bzw. 1922 wurde bewiesen, dass es nur 7 nicht-isomorphe Lösungen gibt.

Eine geometrische Darstellung der 7 Lösungen des 15-Schulmädchen-Problems über die 8 Ecken, 6 Seiten eines Würfels und den Gesamtwürfel gab E. W. Davis 1897 und bewies, dass es keinen Automorphismus der Ordnung 7 gibt. Pavone und Falcone gaben zwei weitere geometrische Beschreibungen über die 4 Ecken, 6 Kanten, 4 Seitenflächen eines Tetraeders und den Gesamt-Tetraeder. Dies war gleichzeitig ein Modell der dreidimensionalen projektiven Geometrie ${\displaystyle \operatorname {PG} (3,2)}$ über dem endlichen Körper mit zwei Elementen.

Die allgemeine Lösung solcher Probleme erwies sich als schwieriger als ursprünglich angenommen. Der Beweis der Existenz einer Lösung im allgemeinen Fall wurde von Richard M. Wilson und D. K. Ray-Chaudhuri 1968 erbracht und 2014 wurde sogar allgemeiner ein Existenzbeweis für zulässige Blockpläne von Peter Keevash gegeben (mit endlich vielen Ausnahmen). Es gibt nicht für jedes ${\displaystyle n}$ und jede Kombination von Parametern Lösungen: Gewisse natürliche Teilbarkeitsbedingungen müssen erfüllt sein, zum Beispiel muss im Fall der Schulmädchen wie erwähnt deren Anzahl ${\displaystyle n}$ ein ungerades Vielfaches von drei sein. Sind diese Bedingungen aber erfüllt, konnte Wilson die Existenz einer Lösung beweisen. Die Anzahl der Lösungen nimmt nach Keevash mit ${\displaystyle n}$ exponentiell zu.

Kirkmans Schulmädchenproblem war der Beginn der Entwicklung der Theorie der Blockpläne oder kombinatorischen Designs.

Mit der zusätzlichen Bedingung, dass am ersten Tag die Mädchen der Reihe nach (z. B. alphabetisch) in Gruppen unterwegs sind, werden durch Permutation der Personen generierte weitere Lösungen ausgeschlossen.

Explizit lautet eine der Lösungen für die 15 Schulmädchen an sieben Tagen (${\displaystyle k=2}$):

Für neun Schulmädchen an vier Tagen (${\displaystyle k=1}$) z. B. folgende Lösung:

Für drei Schulmädchen an einem Tag (${\displaystyle k=0}$) gibt es nur die triviale Lösung:

Für 21 Schulmädchen an zehn Tagen (${\displaystyle k=3}$) z. B. folgende Lösung:

Literatur

• W. W. Rouse Ball: Mathematical Recreations and Essays, Macmillan 1926, Kapitel X (Kirkman's School-Girls Problem)
  • Digitalisat der Ausgabe 1917, dort Kapitel IX (ab Seite 193)
• Martin Gardner: Dinner guests, schoolgirls and handcuffed persons, Scientific American Mai 1980 und in: Gardner The last recreations, Springer 1997, S. 121–138
• Giovanni Falcone, Marco Pavone: Kirkman's Tetrahedron and the Fifteen Schoolgirls Problem, American Mathematical Monthly, Band 118, Heft 10, 2011, S. 887–900

Weblinks

• Erica Klarreich: A design dilemma solved, minus designs. Quanta Magazine 2015
• Kirkman's Schoolgirl Problem, mathworld

Einzelnachweise